Logische vereenvoudiging met Karnaugh-kaarten

De voorbeelden van logische vereenvoudiging die we tot nu toe hebben gedaan, hadden ongeveer even snel met Booleaanse algebra kunnen worden uitgevoerd. Problemen met de vereenvoudiging van de logica in de echte wereld vragen om grotere Karnaugh-kaarten zodat we serieus werk kunnen doen.

We zullen in deze sectie aan enkele gekunstelde voorbeelden werken, waarbij we de meeste toepassingen in de echte wereld overlaten aan het hoofdstuk Combinatorische logica. Met gekunsteld bedoelen we voorbeelden die technieken illustreren.

Deze aanpak zal de tools ontwikkelen die we nodig hebben om over te stappen naar de meer complexe toepassingen in het hoofdstuk Combinatorische logica.

Karnaugh-kaarten en grijze codereeks

We tonen onze eerder ontwikkelde Karnaugh-kaart. We gebruiken het formulier aan de rechterkant.

Let op de reeks getallen bovenaan de kaart. Het is niet in binaire volgorde die zou zijn 00, 01, 10, 11 . Het is 00, 01, 11 10 , wat een grijze codereeks is. Grijze codereeks verandert slechts één binair bit als we van het ene nummer naar het volgende in de reeks gaan, in tegenstelling tot binair.

Dat betekent dat aangrenzende cellen slechts één bit, of Booleaanse variabele, variëren. Dit is wat we nodig hebben om de uitgangen van een logische functie te organiseren, zodat we gemeenschappelijkheid kunnen zien.

Bovendien moeten de kolom- en rijkoppen in grijze codevolgorde staan, anders werkt de kaart niet als een Karnaugh-kaart. Cellen die gemeenschappelijke Booleaanse variabelen delen, zouden niet langer aangrenzend zijn en geen visuele patronen vertonen.

Aangrenzende cellen variëren slechts met één bit, omdat een grijze codereeks slechts één bit varieert.

Grijze code genereren

Als we onze eigen Karnaugh-kaarten schetsen, moeten we Gray-code genereren voor elke groottekaart die we kunnen gebruiken. Dit is hoe we grijze code van elke grootte genereren.

Merk op dat de grijze codereeks, rechtsboven, slechts één bit varieert als we naar beneden gaan in de lijst, of onderaan om de lijst bovenaan te zetten. Deze eigenschap van Gray-code is vaak handig voor digitale elektronica in het algemeen. Het is in het bijzonder van toepassing op Karnaugh-kaarten.

Voorbeelden van vereenvoudiging met Karnaugh-kaarten

Laten we verder gaan met enkele voorbeelden van vereenvoudiging met Karnaugh-kaarten met 3 variabelen. We laten zien hoe de producttermen van de niet-vereenvoudigde logica kunnen worden toegewezen aan de K-map.

We illustreren hoe groepen aangrenzende cellen kunnen worden geïdentificeerd, wat leidt tot een Sum-of-Products-vereenvoudiging van de digitale logica.

Hierboven plaatsen we de enen in de K-map voor elk van de producttermen, identificeren we een groep van twee en schrijven dan een p-term (productterm) voor de enige groep als ons vereenvoudigd resultaat.

Het in kaart brengen van de vier producttermen hierboven levert een groep van vier op die wordt gedekt door Booleaanse A'

Het in kaart brengen van de vier p-termen levert een groep van vier op, die wordt gedekt door één variabele C .

Na het in kaart brengen van de zes p-termen hierboven, identificeer je de bovenste groep van vier, pak je de onderste twee cellen op als een groep van vier door de twee te delen met twee andere van de andere groep. Deze twee afdekken met een groep van vier geeft een eenvoudiger resultaat.

Aangezien er twee groepen zijn, zullen er twee p-termen zijn in het resultaat van de Sum-of-Products A'+B

De twee producttermen hierboven vormen één groep van twee en vereenvoudigt tot BC

Het in kaart brengen van de vier p-termen levert een enkele groep van vier op, namelijk B

Het in kaart brengen van de vier p-termen hierboven levert een groep van vier op. Visualiseer de groep van vier door de uiteinden van de kaart op te rollen om een ​​cilinder te vormen, dan zijn de cellen aangrenzend. Normaal gesproken markeren we de groep van vier zoals linksboven.

Van de variabelen A, B, C is er een gemeenschappelijke variabele:C’. C 'is een 0 in totaal vier cellen. Het eindresultaat is C'

.

De zes cellen hierboven van de niet-vereenvoudigde vergelijking kunnen worden georganiseerd in twee groepen van vier. Deze twee groepen zouden ons twee p-termen moeten geven in ons vereenvoudigde resultaat van A' + C' .

Booleaanse vergelijkingen vereenvoudigen met Karnaugh-kaarten

Hieronder komen we terug op de verbrandingsoven voor giftig afval uit het hoofdstuk Booleaanse algebra. Zie het hoofdstuk Booleaanse algebra voor details over dit voorbeeld. We zullen de logica vereenvoudigen met behulp van een Karnaugh-kaart.

De Booleaanse vergelijking voor de uitvoer heeft vier producttermen. Breng vier 1's in kaart die overeenkomen met de p-termen. Als we groepen cellen vormen, hebben we drie groepen van twee. Er zullen drie p-termen in het vereenvoudigde resultaat zijn, één voor elke groep. Zie Waarheidstabellen omzetten in Booleaanse uitdrukkingen uit hoofdstuk 7 voor een poortdiagram van het resultaat, dat hieronder wordt weergegeven.

Hieronder herhalen we ter vergelijking de Booleaanse algebra-vereenvoudiging van de verbrandingsoven voor giftig afval.

Hieronder herhalen we de Karnaugh-kaartoplossing van de giftige afvalverbrandingsoven ter vergelijking met de bovenstaande Booleaanse algebravereenvoudiging. Deze casus illustreert waarom de Karnaugh-kaart veel wordt gebruikt voor logische vereenvoudiging.

De Karnaugh-kaartmethode ziet er zeker gemakkelijker uit dan de vorige pagina's van Booleaanse algebra.

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Karnaugh Mapping-werkblad