Decimaal versus binaire nummering

Laten we tellen van nul tot twintig met behulp van vier verschillende soorten nummeringsystemen:hekjes, Romeinse cijfers, decimaal en binair:

Noch hekjes, noch het Romeinse systeem zijn erg praktisch voor het symboliseren van grote getallen. Het is duidelijk dat plaatsgewogen systemen zoals decimaal en binair efficiënter zijn voor de taak.

Merk echter op hoeveel kortere decimale notatie over binaire notatie is, voor hetzelfde aantal grootheden. Wat vijf bits in binaire notatie nodig heeft, heeft maar twee cijfers in decimale notatie.

Dit roept een interessante vraag op met betrekking tot verschillende nummeringssystemen:hoe groot kan een getal worden weergegeven met een beperkt aantal cijferposities of plaatsen? Met het ruwe hash-mark-systeem IS het aantal plaatsen het grootste aantal dat kan worden weergegeven, aangezien één hekje "plaats" vereist is voor elke stap met een geheel getal.

Voor plaatsgewogen nummeringsystemen wordt het antwoord echter gevonden door de basis van het nummeringssysteem (10 voor decimaal, 2 voor binair) te nemen en te verhogen tot de macht van het aantal plaatsen.

5 cijfers in een decimaal nummeringssysteem kunnen bijvoorbeeld 100.000 verschillende gehele getalwaarden vertegenwoordigen, van 0 tot 99.999 (10 tot de 5e macht =100.000). 8 bits in een binair nummeringssysteem kunnen 256 verschillende gehele getalwaarden vertegenwoordigen, van 0 tot 11111111 (binair), of 0 tot 255 (decimaal), omdat 2 tot de 8e macht gelijk is aan 256.

Met elke extra plaatspositie in het getalveld, neemt de capaciteit voor het weergeven van getallen toe met een factor van het grondtal (10 voor decimaal, 2 voor binair).

Een interessante voetnoot bij dit onderwerp is die van de eerste elektronische digitale computers, de Eniac.

De ontwerpers van de Eniac kozen ervoor om getallen digitaal weer te geven in decimale vorm, met behulp van een reeks circuits die "ringtellers" worden genoemd in plaats van alleen met het binaire nummeringssysteem te werken, in een poging om het aantal circuits dat nodig is om zeer grote aantallen.

Deze aanpak bleek contraproductief te zijn, en sindsdien zijn vrijwel alle digitale computers puur binair van opzet.

Binair naar decimale conversie

Om een ​​getal in binaire nummering om te zetten in zijn equivalent in decimale vorm, hoef je alleen maar de som te berekenen van alle producten van bits met hun respectievelijke plaats-gewichtconstanten. Ter illustratie:

Het bit helemaal rechts wordt het Least Significant Bit (LSB) genoemd, omdat het op de plaats van het laagste gewicht staat (de plaats van de persoon).

Het bit helemaal links wordt het Most Significant Bit (MSB) genoemd, omdat het op de plaats staat met het hoogste gewicht (de plaats van honderd achtentwintig).

Onthoud dat een bitwaarde van "1" betekent dat het respectieve plaatsgewicht wordt opgeteld bij de totale waarde, en een bitwaarde van "0" betekent dat het respectieve plaatsgewicht niet doet. toegevoegd aan de totale waarde. Met het bovenstaande voorbeeld hebben we:

Als we een binair getal tegenkomen met een punt (.), een "binair punt" genoemd in plaats van een decimaalteken, volgen we dezelfde procedure, waarbij we ons realiseren dat elk plaatsgewicht rechts van het punt de helft is van de waarde van de een aan de linkerkant ervan (net zoals elke plaats een gewicht heeft aan de rechterkant van een decimaal punt is een tiende van het gewicht van het punt links ervan). Bijvoorbeeld:

GERELATEERDE WERKBLAD:

• Werkblad binaire wiskunde